Question

已知定圓A：（x+

3

）²+y²=16，圓心為A，動圓M過點(diǎn)B（

3

，0），且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x₀，y₀）為曲線C上一點(diǎn)，探究直線l：x₀+4y₀y-4=0與曲線C是否存在交點(diǎn)？若存在則求出交點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）依據(jù)條件判斷定圓和動圓相內(nèi)切，再依據(jù)橢圓的定義寫出曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，y₀=0時，x₀=±2；當(dāng)y₀≠0時，直線l：y=

4-x0x

4y0

代入橢圓方程，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ） 圓A的圓心為A（-

3

，0），半徑r₁=4，
設(shè)動圓M的圓心M（x，y），半徑為r₂，依題意有，r₂=|MB|． …（2分）
由|AB|=2

3

，可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，故|MA|=r₁-r₂，
即|MA|+|MB|=4，…（4分）
所以，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，2a=4，2c=2

3

，可得a²=4，b²=1．
故曲線C的方程為

x2

4

+y²=1；        …（6分）
（Ⅱ）當(dāng)y₀=0時，x₀=±2，x₀=2時，直線l：x₀+4y₀y-4=0與曲線C有且只有一個交點(diǎn)（2，0）；x₀=-2時，直線l：x₀+4y₀y-4=0與曲線C有且只有一個交點(diǎn)（-2，0）；
當(dāng)y₀≠0時，直線l：y=

4-x0x

4y0

代入橢圓方程消去y，得（4y₀²+x₀²）x²-8x₀x+16-16y₀²=0  ①…（10分）
由點(diǎn)P（x₀，y₀）為曲線C上一點(diǎn)，得4y₀²+x₀²=4
于是方程①可以化簡為x²-2x₀x+x₀²=0解得x=x₀，…（12分）
代入y=

4-x0x

4y0

解得y=y₀，故直線l：x₀+4y₀y-4=0與曲線C有且只有一個交點(diǎn)P（x₀，y₀）
綜上，直線l與曲線C存在唯一的一個交點(diǎn)，交點(diǎn)為P（x₀，y₀）．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．