Question

（2007•汕頭二模）設復數z=

1+i

1-i

（i為虛數單位），則C₈⁰+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷=（　　）

A．16

B．15

C．16i

D．16-i

Answer 1

分析：先利用復數的運算求出z=i；再結合二項式定理的應用把所求問題轉化為（1+i）⁸-C₈⁸z⁸即可求出結論．

解答：解：∵z=

1+i

1-i

=

(1+i)(1+i)

(1+i)(1-i)

=i．
∵（1+z）⁸=（1+i）⁸=C₈⁰+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷+c₈⁸z⁸．
∴C₈⁰+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷
=（1+i）⁸-C₈⁸z⁸
=（1+i）⁸-C₈⁸i⁸
=[（1+i）⁴]²-[（i）⁴]²
=（-4）²-1²=15．
故選：B．

點評：本題主要考查二項式定理的應用以及復數的運算．考查計算能力，屬于基礎題目．解決問題的關鍵在于把所求問題轉化為（1+i）⁸-C₈⁸z⁸．