Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點(diǎn)．
（I）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量
（I）要證：DE∥平面ABC，只需證明向量DE與平面ABC的法向量數(shù)量積=0即可；
（II）要證：B₁F⊥平面AEF，只需證明=0，=0即可；
（III）求二面角B₁-AE-F的余弦值，只需求出平面B₁AE的法向量為，
平面AEF的法向量為，利用數(shù)量積確定二面角的余弦值．
也可以用幾何法證明：
（I）要證DE∥平面ABC，只需證明DE平行平面ABC內(nèi)的直線DG（設(shè)G是AB的中點(diǎn)，連接DG，）；
（II）求證B₁F⊥平面AEF，只需證明B₁F垂直平面AEF內(nèi)的兩條相交直線AF、EF即可；
（III）過F做FM⊥AE于點(diǎn)M，連接B₁M，說明∠B₁MF為二面角B₁-AE-F的平面角，然后求二面角B₁-AE-F的余弦值．
解答：解：方法1：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，令A(yù)B=AA₁=4，
則A（0，0，0），E（0，4，2），F(xiàn)（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2），（2分）
（I）=（-2，4，0），面ABC的法向量為=（0，0，4），
∵，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（II），
=0
=0（6分）
∴，∴B₁F⊥AF
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF（8分）

（III）平面AEF的法向量為，設(shè)平面B₁AE的法向量為，
∴，即（10分）
令x=2，則Z=-2，y=1，∴
∴=
∴二面角B₁-AE-F的余弦值為（12分）

方法2：（I）方法i：設(shè)G是AB的中點(diǎn)，連接DG，
則DG平行且等于EC，（2分）
所以四邊形DECG是平行四邊形，所以DE∥GC，
從而DE∥平面ABC．（4分）
方法ii：連接A₁B、A₁E，并延長(zhǎng)A₁E交AC的延長(zhǎng)線
于點(diǎn)P，連接BP．由E為C₁C的中點(diǎn)，A₁C₁∥CP，
可證A₁E=EP，（2分）
∵D、E是A₁B、A₁P的中點(diǎn)，∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）
（II）∵△ABC為等腰直角三角形，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，可證B₁F⊥AF，（6分）
設(shè)AB=AA₁=2，則
∴B₁F⊥EF，∴B₁F⊥平面AEF；（8分）

（III）過F做FM⊥AE于點(diǎn)M，連接B₁M，
∵B₁F⊥平面AEF，由三垂線定理可證B₁M⊥AE，
∴∠B₁MF為二面角B₁-AE-F的平面角，
C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，可證EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求，（10分）
在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°，∴
∴二面角B₁-AE-F的余弦值為（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，直線與平面的垂直的判定，考查邏輯思維能力 空間想象能力，是中檔題．