Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證：f（x2）≥（ ﹣1）x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞）， f′（x）=2x+ = ，
令g（x）=2x2+2x+a，則△=4﹣8a，
①當a≥ 時，△≤0，g（x）≥0，從而f′（x）≥0，
故函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增；
②當a＜ 時，△＞0，g（x）=0的兩個根為
x1= ，x2= ，
當a≤0時，x1≤﹣1＜x2 ， 此時，當x∈（﹣1， ），函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當x∈（ ，+∞），函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當0＜a＜ 時，﹣1＜x1＜x2 ， 此時函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1， ），（ ，+∞）單調(diào)遞增；
當x∈（ ， ）函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
綜上：當a≥ 時，函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜a＜ 時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1， ），（ ，+∞）單調(diào)遞增；
在區(qū)間（ ， ），函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當a≤0時，x∈（﹣1， ）函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
x∈（ ，+∞）函數(shù)f（x）單調(diào)遞增…（6分）
（Ⅱ）證明：當函數(shù)f（x）有兩個極值點時，0＜a＜ ，x2= ∈（﹣ ，0），
且g（x2）=2 +2x2+a=0，即a=﹣2 ﹣2x2 ，
f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
=x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），
h′（x）=﹣2ln（x+1）﹣1，令h′（x）＞0，x∈（﹣ ， ﹣1），函數(shù)單調(diào)遞增；
令h′（x）＜0，x∈（ ﹣1，0），函數(shù)單調(diào)遞減；
∴h（x）max=h（ ﹣1）= ﹣1，∴ ≤ ﹣1，
∵x2∈（﹣ ，0），
∴f（x2）≥（ ﹣1）x2 ．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）得到a=﹣2 ﹣2x2 ， 根據(jù)f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），得到 =x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而證明結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．