精英家教網(wǎng)已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1).
(Ⅰ)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(Ⅱ)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD?
分析:(Ⅰ)由AB⊥平面BCD?AB⊥CD,又CD⊥BC?CD⊥平面ABC,再利用條件可得不論λ為何值,恒有EF∥CD?EF?平面BEF,就可得不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD?BE⊥平面ACD?BE⊥AC.故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可.在△ABC中求出λ的值.
解答:證明:(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,
∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.(3分)
又∵
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1)

∴不論λ為何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,EF?平面BEF,
∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又∵平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.(9分)
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
BD=
2
,AB=
2
tan60°=
6
,(11分)
AC=
AB2+BC2
=
7

由AB2=AE•AC得AE=
6
7
,∴λ=
AE
AC
=
6
7
,(13分)
故當(dāng)λ=
6
7
時(shí),平面BEF⊥平面ACD.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了面面垂直的判定.在證明面面垂直時(shí),其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D為AB的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別在線段AC,BC上,且EF∥AB,EF交CD于G,把△ADC沿CD折起,如圖所示,

(1)求證:E1F∥平面A1BD;
(2)當(dāng)二面角A1-CD-B為直二面角時(shí),是否存在點(diǎn)F,使得直線A1F與平面BCD所成的角為60°,若存在求CF的長(zhǎng),若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正方體ABCD-A'B'C'D',下面有關(guān)說法中不正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•武昌區(qū)模擬)已知矩形ABCD中,AB=
2
,AD=1,將△ABD沿BD折起,使點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上.
(1)求證:平面ABD⊥平面ABC;
(2)若E為線段BD的中點(diǎn),求二面角B-AC-E的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年浙江省溫州市八校聯(lián)考高三(上)期初數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D為AB的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別在線段AC,BC上,且EF∥AB,EF交CD于G,把△ADC沿CD折起,如圖所示,

(1)求證:E1F∥平面A1BD;
(2)當(dāng)二面角A1-CD-B為直二面角時(shí),是否存在點(diǎn)F,使得直線A1F與平面BCD所成的角為60°,若存在求CF的長(zhǎng),若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006-2007學(xué)年江蘇省常州高級(jí)中學(xué)高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知正方體ABCD-A'B'C'D',下面有關(guān)說法中不正確的是( )
A.AD'⊥DB'
B.點(diǎn)C'在平面A'BCD'上的射影恰為正方體的中心
C.BC'與平面A'BCD'所成的角小于45°
D.二面角C'-BD-C的正切值為

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