Question

拋物線y²=x的準(zhǔn)線方程為________；經(jīng)過此拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)M（1，1），且與準(zhǔn)線相切的圓共有________個(gè)．

Answer 1

    2
分析：根據(jù)拋物線方程y²=x，不難得到它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．根據(jù)平面幾何性質(zhì)，滿足條件圓的圓心C既在線段FM垂直平分線上，又在拋物線上．由此確定FM垂直平分線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即得滿足條件的圓的個(gè)數(shù)．
解答：∵拋物線方程為y²=x，
∴拋物線開口向右，2p=1，得=
因此，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（，0）
設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)F和點(diǎn)M（1，1）的圓的圓心為C
∵CF=CM，∴點(diǎn)C在線段FM垂直平分線上
又∵圓C與與拋物線準(zhǔn)線相切
∴點(diǎn)C到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑CF，結(jié)合拋物線的定義，可得點(diǎn)C是拋物線上的點(diǎn)．
由以上的分析可得，點(diǎn)C是拋物線與FM垂直平分線的焦點(diǎn)
∵FM垂直平分線為：y=-x+1，與拋物線y²=x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∴存在兩個(gè)不同的C點(diǎn)，使圓C與準(zhǔn)線相切，即過F、M兩點(diǎn)且與準(zhǔn)線相切的圓共有2個(gè)
故答案為：2
點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過定點(diǎn)（1，1）和拋物線焦點(diǎn)的圓與拋物線準(zhǔn)線相切，求滿足條件圓的個(gè)數(shù)．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．