【題目】已知離心率為的橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，求的面積的最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率為可得出，再由的面積最大值為可求得的值，進(jìn)而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；

（Ⅱ）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線的斜率為，然后將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、三角形的面積公式以及基本不等式可求得的面積的最大值.

（Ⅰ）橢圓的離心率為，可得，

由題意可得的面積的最大值為，可得，，

因此，橢圓的方程為；

（Ⅱ）聯(lián)立，解得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，即，

聯(lián)立，消去并整理得，

由韋達(dá)定理得，即，，

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線的斜率為，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去得，

，可得，

由韋達(dá)定理得，，

由弦長公式可得，

點(diǎn)到直線的距離，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

因此，面積的最大值為.

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【題目】已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，左、右焦點(diǎn)分別為、．

（1）求橢圓的方程；

（2）過左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求的最小值．

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【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn)，求的值；

（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．

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【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）不需證明，直接寫出的奇偶性：

（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)：

（Ⅲ）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．

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【題目】如圖：在直三棱柱中，，，是棱上一點(diǎn)，是的延長線與的延長線的交點(diǎn)，且平面.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長.

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【題目】已知函數(shù)，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)相切.

（1）求函數(shù)的值域；

（2）求證：.

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【題目】如圖，在四棱錐中，，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點(diǎn)，，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）當(dāng)時(shí)，判斷直線與曲線的位置關(guān)系；

（2）若直線與曲線相交所得的弦長為，求的值.

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