如圖1,設(shè)P1,P2,P3,…,Pn,…是曲線y=x上的點(diǎn)列,Q1,Q2,Q3,…,Qn,…是x軸正半軸上的點(diǎn)列,且△OQ1P1,△Q1Q2P2,…,△Qn-1QnPn,…都是正三角形,設(shè)它們的邊長(zhǎng)為a1,a2,…,an,…,求證:a1+a2+…+an=n(n+1).

圖1

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),點(diǎn)P1是直線y=與曲線y=的交點(diǎn),∴可求出P1(,).

∴a1=|OP1|=.

而×1×2=,命題成立.

(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即a1+a2+…+ak=k(k+1),則點(diǎn)Qk的坐標(biāo)為(k(k+1),0),

∴直線QkPk+1的方程為y=［x-k(k+1)］.代入y=,解得Pk+1點(diǎn)的坐標(biāo)為((k+1)).

∴ak+1=|QkPk+1|=(k+1)·=(k+1).

∴a1+a2+…+ak+ak+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2).

∴當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.

由(1)(2),可知命題對(duì)所有正整數(shù)都成立.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)P1，P2，P3，…，Pn，…是曲線y=
x
上的點(diǎn)列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…都是正三角形，設(shè)它們的邊長(zhǎng)為a1，a2，…，an，…，求證：a1+a2+…+an=
1
3
n（n+1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，設(shè)P0是拋物線y=x2上一點(diǎn)，且在第一象限．過(guò)點(diǎn)P0作拋物線的切線，交x軸于Q1點(diǎn)，過(guò)Q1點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于P1點(diǎn)，此時(shí)就稱(chēng)P0確定了P1．依此類(lèi)推，可由P1確定P2，…．記Pn（xn，yn），n=0，1，2，…．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①xn＞0；
②數(shù)列{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列；
③對(duì)于?n∈N，?x0＞1，使得y0+y1+y2+…+yn＜2．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為
①②③
①②③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，設(shè)P1，P2，P3，…，Pn，…是曲線y=數(shù)學(xué)公式上的點(diǎn)列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…都是正三角形，設(shè)它們的邊長(zhǎng)為a1，a2，…，an，…，求證：a1+a2+…+an=數(shù)學(xué)公式n（n+1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：13.1 數(shù)學(xué)歸納法（解析版） 題型：解答題

如圖，設(shè)P1，P2，P3，…，Pn，…是曲線y=上的點(diǎn)列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…都是正三角形，設(shè)它們的邊長(zhǎng)為a1，a2，…，an，…，求證：a1+a2+…+an=n（n+1）．

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