Question

點(diǎn)P是橢圓16x²+25y²=1600上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，又知點(diǎn)P在x軸上方，F(xiàn)₂為橢圓的右焦點(diǎn)，直線PF₂的斜率為-4

3

：求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，將橢圓方程與直線的方程聯(lián)立求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積底乘高除以2求出三角形的面積．

解答：解：F₁、F₂是橢圓

x2

100

+

y2

64

=1的左、右焦點(diǎn)，
則F₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），
設(shè)P（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，則

16x2+25y2=1600…(1) y x-6 =-4 3 …(2) y＞0…(3)

消去y，得19x²-225x+6500=0，
得x₁=5或x2=

130

19

當(dāng)x2=

130

19

時(shí)，代入（2）得y2=-

64 3

19

與（3）矛盾，舍去．
由x=5，得y=4

3

．
所以，△PF₁F₂的面積S=

1

2

|F1F2|•h=

1

2

×12×4

3

=24

3

．

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系找突破口．