Question

已知點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0）為定點(diǎn)，且滿足，•．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F且斜率為k的直線l與曲線E交于兩點(diǎn)A，B，試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件可知P為MN的中點(diǎn)，由題意設(shè)出P和M的坐標(biāo)，求出和的坐標(biāo)，代入•可求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系寫出A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和與積，假設(shè)存在點(diǎn)C（m，0）滿足條件，則，由
|CA|²+|CB|²=|AB|²成立得到，代入坐標(biāo)后得到關(guān)于m的一元二次方程，分析知方程有解，從而得到答案．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)N（x，y），則由，得P為MN的中點(diǎn)．
∴．
∴，．
∴，即y²=4x．
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），由，消去x得．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．
假設(shè)存在點(diǎn)C（m，0）滿足條件，則，
∴
=
=
=．
∵△=，
∴關(guān)于m的方程有解．
∴假設(shè)成立，即在x軸上存在點(diǎn)C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立．
點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題是考查的中點(diǎn)，常和弦長問題、存在性問題結(jié)合考查，解答時(shí)往往采用“設(shè)而不求”的解題方法，借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，該種類型的問題計(jì)算量較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是難題．