Question

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同．
（1）若a=1，求b的值；
（2）用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值；
（2）利用（1）類似的方法，利用a的表達(dá)式來表示b，然后利用導(dǎo)數(shù)來研究b的最大值，研究此函數(shù)的最值問題，先求出函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出最大值與最小值即得．

解答：解：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同．
f′（x）=x+2，g′（x）=

3

x

，
由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
∴

1 2 x-02+2x0=3lnx0+b x0+2= 3 x0

，
由x₀+2=

3

x0

得x₀=1或x₀=-3（舍去），即有b=

5

2

．
（2）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同、
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由題意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即

1 2 x 2 0 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

由x₀+2a=

3a2

x0

得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
即有b=

1

2

a²+2a²-3a²lna=

5

2

a²-3a²lna．
令h（t）=

5

2

t²-3t²lnt（t＞0），則h′（t）=2t（1-3lnt）、
于是當(dāng)t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

時，h′（t）＞0；
當(dāng)t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

時，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e

1

3

）為增函數(shù)，在（e

1

3

，+∞）為減函數(shù)，于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

，
故b的最大值為

3

2

e

2

3

．

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．