已知在數(shù)列{a
n}中,a
1=3,(n+1)a
n-na
n+1=1,n∈N
*.
(1)證明數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,并求{a
n}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{
}的前n項和為T
n ,證明:T
n<
.
考點:數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)把給出的數(shù)列遞推式變形,得到
-==-,然后利用累加法求得數(shù)列的通項公式,再利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列;
(2)把{a
n}的通項公式代入
,放大后列項,然后利用裂項相消法求得數(shù)列{
}的前n項和為T
n ,則結(jié)論得到證明.
解答:
證明:(1)由(n+1)a
n-na
n+1=1,得
-==-,
則
-=1-,
-=-,
…
-=-(n≥2).
累加得:
a1-=1-=,即a
n=2n+1,
由a
n+1-a
n=2(n+1)+1-2n-1=2為常數(shù).
∴數(shù)列{a
n}是公差為2的等差數(shù)列;
(2)
=
<=(-),
∴
Tn<+[(-)+(-)+…+(-)]=
+(-)=+-=
-<.
點評:本題考查了數(shù)列遞推式,考查了等差關(guān)系的確定,訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式,是中高檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
設(shè){a
n},{b
n}都是各項為正數(shù)的數(shù)列,對任意的正整數(shù)n,都有a
n,b
n2,a
n+1成等差數(shù)列,b
n2,a
n+1,b
n+12成等比數(shù)列.
(1)試問{b
n}是否成等差數(shù)列?為什么?
(2)如果a
1=1,b
1=
,求數(shù)列{
}的前n項和S
n.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
一學(xué)生在河岸緊靠河邊筆直行走,經(jīng)觀察,在和河對岸靠近河邊有一參照物與學(xué)生前進(jìn)方向成30度角,學(xué)生前進(jìn)200米后,測得該參照物與前進(jìn)方向成75度角,則河的寬度為( �。�
A、50(+1)米 |
B、100(+1)米 |
C、50米 |
D、100米 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
若函數(shù)y
1=a•x
2,y
2=c•2
x,y
3=b•x
3,則由表中數(shù)據(jù)確定f(x),g(x),h(x)依次對應(yīng)( �。�
x | f(x) | g(x) | h(x) |
1 | 2 | 0.2 | 0.2 |
5 | 50 | 25 | 3.2 |
10 | 200 | 200 | 102.4 |
A、y1,y2,y3 |
B、y2,y1,y3 |
C、y3,y2,y1 |
D、y1,y3,y2 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
若一個三角形某邊長為4,周長為10,則此三角形面積的最大值為( �。�
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)f(x)=sin(x-
)sin(x+
),g(x)=
sin2x+.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的最小值,并求使h(x)取得最小值時x的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=
,若a
1=
,則a
2014=( �。�
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若(2a-c)cosB=bcosC.
(Ⅰ)求角B的大��;
(Ⅱ)若a=3,△ABC的面積為
,求
•
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知雙曲線C的兩個焦點分別是F
1(0,-
),F(xiàn)
2(0,
),且過點M(2,2).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若雙曲線C上的點P滿足PF
1⊥PF
2,求點P的坐標(biāo).
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