Question

某工廠2013年上半年生產(chǎn)的A，B，C，D四種型號的產(chǎn)品產(chǎn)量用條形圖表示如圖，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中選取40件樣品參加今年七月份的一個展銷會．
（Ⅰ）問：A，B，C，D四種型號的產(chǎn)品分別抽取多少件？
（Ⅱ）從40件樣品中隨機地抽取2件，求這2件產(chǎn)品恰好是不同型號產(chǎn)品的概率；
（Ⅲ）40件樣品中，從C，D型號的產(chǎn)品中隨機抽取3件，用X表示抽取的C種型
號產(chǎn)品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）從條形圖上可知，共生產(chǎn)產(chǎn)品有50+100+150+200=500（件），確定樣品比，即可求A，B，C，D型號的產(chǎn)品各抽取的件數(shù)；
（II）求出從40件樣品中隨機地抽取2件的方法數(shù)，再求這2件產(chǎn)品恰好是不同型號產(chǎn)品的方法數(shù)，即可概率；
（III）確定X的取值，利用X服從超幾何分布求出相應的概率，即可得到分布列與期望．

解答：解：（I）從條形圖上可知，共生產(chǎn)產(chǎn)品有50+100+150+200=500（件），樣品比為

40

500

=

2

25

，
所以A，B，C，D四種型號的產(chǎn)品分別取

2

25

×100=8，

2

25

×200=16，

2

25

×50=4，

2

25

×150=12，
即樣本中應抽取A產(chǎn)品8件，B產(chǎn)品16件，C產(chǎn)品4件，D產(chǎn)品12件．…（3分）

（II）從40件產(chǎn)品中任取2件共有

C

2 40

種方法，
2件恰為同一產(chǎn)品的方法數(shù)為

C

2 8

+

C

2 16

+

C

2 4

+

C

2 12

，
所以2件恰好為不同型號的產(chǎn)品的概率為1-

C 2 8 +C 2 16 + C 2 4 + C 2 12

C 2 40

=

28

39

．…（6分）

（III）X的可能取值為0，1，2，3，
則X服從超幾何分布且滿足P（X=k）=

C k 4 C 3-k 12

C 3 16

（k=0，1，2，3）…（9分）
故X的分布列為

P	0	1	2	3
X	11 28	33 70	9 70	1 140

所以EX=0×

11

28

+1×

33

70

+2×

9

70

+3×

1

140

=

3

4

…（13分）

點評：本題考查條形圖，考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，正確求概率是關鍵．