如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
(1)見解析；(2).

試題分析：(1)先利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理，得到 和 ，因為 ，所以利用直線與平面垂直的判定定理可知， ；(2)首先分別以射線，，為軸，軸，軸的正半軸建立空間直角坐標系，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理得到，那么矩形為正方形，由此可知此正方形的邊的長度，根據(jù)坐標系表示四棱錐出各個頂點的坐標，分別求出平面和平面的法向量的坐標，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，求得二面角的余弦值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到所求二面角的正切值.
試題解析：(1)證明　∵，，∴．2分
同理由，可證得．
又，∴．                               4分
(2)如圖，分別以射線，，為軸，軸，軸的正半軸建立空間直角坐標系．

由(1)知，又， ∴．
故矩形為正方形，∴．     6分
∴．
∴．
設平面的一個法向量為，則，即，
∴，取，得．
∵，∴為平面的一個法向量．10分
所以．                  11分
設二面角的平面角為，由圖知，，所以．
∴ 所以，即二面角的正切值為．    12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知在長方體中，點為棱上任意一點，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若點為棱的中點，點為棱的中點，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點是的中點，求證：平面；
（II）試問點在線段上什么位置時，二面角的余弦值為.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P—ABCD中，為邊長為2的正三角形，底面ABCD為菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，，E為PD點上一點，滿足

(1)證明：平面ACE平面ABCD；
(2)求直線PD與平面ACE所成角正弦值的大�。�

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空間直角坐標系中，A（1，2，3），B（-2，-1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），則直線AB與CD的位置關(guān)系是（　　）
A．垂直B．平行
C．異面D．相交但不垂直

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：四棱錐P—ABCD的底面為直角梯形，且AB∥CD，∠DAB＝90o，DC＝2AD＝2AB，側(cè)面PAD與底面垂直，PA＝PD，點M為側(cè)棱PC上一點．

（1）若PA＝AD，求PB與平面PAD的所成角大��；
（2）問多大時，AM⊥平面PDB可能成立？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2.
(I)求證：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大��；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為3的正三角形，側(cè)棱AA1垂直于底面ABC，AA1=，D是CB延長線上一點，且BD=BC.
（1）求證：直線BC1∥平面AB1D；
（2）求二面角B1-AD-B的大�。�
（3）求三棱錐C1-ABB1的體積。

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