Question

已知函數(shù)f（x）=sinx•cos（x-

π

6

）+cos²x-

1

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若f（A）=

1

2

，a=

3

，S_△ABC=

3

2

，求b+c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）利用f（A）求得A，進(jìn)而根據(jù)余弦定理構(gòu)建b，c和a的關(guān)系，結(jié)合三角形的面積公式，即可求b+c的值．

解答： 解：（Ⅰ）解：f（x）=sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）+cos²x-

1

2

=

3

2

sinxcosx+

1

2

cos²x
=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

由2x+

π

6

∈（-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ），可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-

2π

3

+kπ，

π

6

+kπ）（k∈Z）；
（Ⅱ）由題意f（A）=

1

2

sin（2A+

π

6

）+

1

4

=

1

2

，化簡(jiǎn)得 sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

；
在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc=3，
∵S_△ABC=

3

2

=

1

2

bc•

3

2

，∴bc=2
∴b+c=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)恒等變換的運(yùn)用，余弦定理及三角形的面積公式的基本知識(shí)．