Question

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數(shù)”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數(shù)f（x）有下列性質(zhì)：“若x∈[a，b]，則存在x（a，b）使得=f′（x）”成立．利用這個性質(zhì)證明x唯一；
（Ⅲ）設(shè)A、B、C是函數(shù)f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（I）由凹函數(shù)的定義，研究即可；（II）由=f′（x）即證明f（x）是[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)；（III）由A、B、C是函數(shù)f（x）圖象上三個不同的點，聯(lián)系到點的坐標，要證明△ABC是鈍角三角形，可用向量法．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）是凹函數(shù)，證明如下：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則
=
=
=
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴∴f（x）是凹函數(shù)（5分）

證明：（II）假設(shè)x′，x∈（a，b），且x′≠x，
使得f（b）-f（a）=（b-a）f′（x），
①f（b）-f（a）=（b-a）f′（x′），②
①-②得，（b-a）f′（x）=（b-a）f′（x′），
∵b＞a，∴b-a≠0∴f′（x）=f′（x′）
∵
∴∴f′（x）是[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)
∴x=x′，這與x′≠x矛盾，即x是唯一的．（10分）

證明：（III）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（（x₃，y₃），
且x₁＜x₂＜x₃，∵
∴f（x）是x∈R上的單調(diào)減函數(shù)∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）
∴
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0
∴ 
故△ABC為鈍角三角形．（14分）
點評：本題主要通過新函數(shù)來考查不等式的證明，通過導(dǎo)數(shù)來考查函數(shù)的單調(diào)性，通過三角形形狀的判斷來考查向量的坐標形式．