Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且PD⊥底面ABCD，PD=AB，點(diǎn)M的是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）求平面PDC與平面BDM所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，由已知得MO∥PA，由此能證明PA∥面MBD．
（2）由線面垂直得PD⊥BC，由已知得BC⊥CD，從而BC⊥面PDC，又在Rt△PDC中，DM⊥MC，進(jìn)而∠BMC為平面PDC與平面BDM所成銳二面角的平面角，由此能求出平面PDC與平面BDM所成銳角二面角的余弦值．

解答： 解：（1）證明：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，
∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，
∴O是AC中點(diǎn)，
在△PAC中，點(diǎn)M的是PC的中點(diǎn)，
MO是中位線，∴MO∥PA，
又MO?面MBD，PA?面MBD，∴PA∥面MBD．
（2）解：∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥面PDC，又在Rt△PDC中，DM⊥MC，
∴DM⊥MB，∴∠BMC為平面PDC與平面BDM所成銳二面角的平面角，
在Rt△BMC中，∵BC=2，CM=

2

，BM=

6

，
∴cos∠BMC=

MC

MB

=

2

6

=

3

3

，
∴平面PDC與平面BDM所成銳角二面角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．