Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上取一點E使AE與AB、AD所成的角都等于60°，則AE的長為．

• A．

  5

  2

• B．

  6

  2

• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：在正方體的對角面AA1C1C中，找到EH∥AA₁，從而EH⊥平面ABCD，AE在平面ABCD內(nèi)的射影AH在正方形對角線AC上，從而AE滿足與AB、AD所成的角相等．再作HI⊥AB于I，連接EI，設AI=x，利用解直角三角形，得AE=2x，AH=

2

x，最后在Rt△AEH中利用勾股定理，可建立等式，最終求出AE的長度．

解答：解：連接AC、A₁C₁，分別在A₁C₁、AC上取一點E、H，使AH=A₁E，連接AE、EH
過H作HI⊥AB于I，連接IE
∵多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體
∴四邊形AA₁C₁C是矩形
∴AH∥A₁E，再結合AH=A₁E
∴四邊形AA₁EH是平行四邊形
∴EH∥AA₁，再結合AA₁與平面ABCD垂直
∴EH⊥平面ABCD
∵AC是∠BAD的平分線，AE在底面ABCD內(nèi)的射影AH在AC上
∴∠EAD=∠EAB
∵AB?平面ABCD，EH⊥平面ABCD
∴AB⊥EH，再結合AB⊥HI，EH∩HI=H
得：AB⊥平面EHI
∵EI?平面EHI
∴EI⊥AB
Rt△AEI中，設AI=x，∠EAI=60°
∴cos60°=

AI

AE

=

1

2

，可得AE=2x
Rt△AHI中，∠HAI=45°
∴cos45°=

AI

AH

=

2

2

，可得AH=

2

x
在Rt△AEH中，AH²+EH²=AE²
∴(

2

x)  2+1 2=(2x) 2，可得x=

2

2

∴AE=2x=

2

故選C

點評：本題考查了空間距離的計算，屬于中檔題．解題過程中用到了直線與平面垂直的判定與性質，請同學們注意從“線面垂直”到“線線垂直”的互相轉化．