Question

若函數(shù)f（x）為定義域D上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]叫做等域區(qū)間．
（1）已知是[0，+∞）上的正函數(shù)，求f（x）的等域區(qū)間；
（2）試探究是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，請求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為是[0，+∞）上的正函數(shù)，然后根據(jù)正函數(shù)的定義建立方程組，解之可求出f（x）的等域區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉(zhuǎn)化成關于a的方程a²+a+m+1=0在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解進行求解．
解答：解：（1）因為是[0，+∞）上的正函數(shù)，
且在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當x∈[a，b]時，

即
解得a=0，b=1，
故函數(shù)f（x）的“等域區(qū)間”為[0，1]；
（2）因為函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)，
所以當x∈[a，b]時，

即
兩式相減得a²-b²=b-a，
即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，
且b=-（a+1）
得，
故關于a的方程a²+a+m+1=0在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解，
記h（a）=a²+a+m+1，
則
解得．
點評：本題主要考查了新的定義，以及函數(shù)的值域，同時考查了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．