Question

（2013•廣東模擬）數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，s_n為其前n項和，對于任意n∈N^*，總有a_n，s_n，an2成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）正數(shù)數(shù)列{c_n}中，a_n+1=(cn)n+1，（n∈N°）．求數(shù)列{c_n}中的最大項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得2sn=an+an2，則2sn-1=an+an-12（n≥2），兩式相減整理可得a_n-a_n-1=1，令n=1解得a₁，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求
（Ⅱ）由已知，a_n+1=(cn)n+1，分別令n=1，2，3，4可求c₁，c₂，c₃，c₄，結(jié)合幾項的值，猜想{c_n}的單調(diào)性，然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=

lnx

x

，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)在[3，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而可知{c_n}的單調(diào)性，即可判斷

解答：（Ⅰ）解：由已知：對于任意n∈N^*，總有2sn=an+an2①成立
∴2sn-1=an+an-12（n≥2）②
①--②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵各項都均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1   （n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列
又n=1時，2s1=a1+a12，解得a₁=1
∴a_n=n．
（Ⅱ）由已知  a2=c12=2可得c₁=

2

a3=c23=3可得，c2=

3	3

a4=c34=4可得c₃=

4	4

a5=c45=5可得c₄=

5	5

易得　c₁＜c₂＞c₃＞c₄
猜想 n≥2 時，{c_n}是遞減數(shù)列．
令f(x)=

lnx

x

∴f′(x)=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

∵當(dāng)x≥3時lnx＞1，則1-lnx＜0，即f‘（x）＜0
∴在[3，+∞）內(nèi)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
由a_n+1=(cn)n+1，可得cn=

ln(n+1)

n+1

．
∴n≥2 時，{lnc_n}是遞減數(shù)列．即{c_n}是遞減數(shù)列．
又c₁＜c₂，
∴數(shù)列{c_n}中的最大項為c₂=

3	3

．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用及利用函數(shù)的單調(diào)性判斷相應(yīng)數(shù)列的單調(diào)性及利用單調(diào)性判斷數(shù)列取得的最大項