Question

投擲A，B，C三個紀念幣，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

將這三個紀念幣同時投擲一次，設(shè)ξ表示出現(xiàn)正面向上的個數(shù)．
（1）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個獨立重復(fù)試驗，看出變量的所有可能取值，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式寫出變量取不同值時的概率，寫出分布列和期望．
（2）由題意知本題要使的P（ξ=1）的值最大，題目最容易考慮到的一種方法是把P（ξ=1）的值同其他幾個變量的概率值進行比做差比較，使得差大于零，解不等式組，得到a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知ξ個正面向上，3-ξ個背面向上．
ξ的可能取值為0，1，2，3．
根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式得到變量的分布列，
P(ξ=0)=

C

0 1

(1-

1

2

)

C

0 2

(1-a)2=

1

2

(1-a)2，
P(ξ=1)=

C

1 1

•

1

2

C

0 2

(1-a)2+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a2)，P(ξ=2)=

C

1 1

•

1

2

C

1 2

a(1-a)+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

1

2

(2a-a2)，
P(ξ=3)=

C

1 1

•

1

2

C

2 2

a2=

a2

2

．
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

1

2

(1-a)2+1×

1

2

(1-a2)+2×

1

2

(2a-a2)+3×

a2

2

=

4a+1

2

．
（2）P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，
P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

，
P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

．
由

a(1-a)≥0 1-2a 2 ≥0 1-2a2 2 ≥0

和0＜a＜1，
得0＜a≤

1

2

，
即a的取值范圍是(0，  

1

2

]．

點評：本題是一個綜合題，解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．