Question

的根的個數不可能是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

Answer 1

【答案】分析：先畫出函數f（t）的圖象，得出f（t）=a的實數根的情況；再利用換元法，令t=2x²+x，進一步考查f（2x²+x）=a根的情況即可．
解答：解：（1）畫出f（x）圖象，
當x＞0時，f（x）=，
當x≤0時，f（x）=x³+3≤3．于是可得：
①當2＜a＜3時，f（x）=a有3個根，一負二正；
②當a=3時，f（x）=a有3個根，一零二正；
③當3＜a時，f（x）=a有2個正根；
④當a=2時，f（x）=a有一正一負根；
⑤當a＜2時，f（x）=a只有一負根．
（2）令t=2x²+x=，則，
①當2＜a＜3時，f（t）=a有3個t使之成立，一負二正，兩個正t分別對應2個x，
當t時，沒有x與之對應，
當t=時，有1個x與之對應，
當t時，有2個x與之對應，∴根的個數分別為4、5、6個；
②當3＜a時，f（t）=a有2個正根，兩個正t分別對應2個x，此時根的個數為4個．
③由題目不必考慮a≤2的情形．
所以根的個數只可能為4、5、6個．
即方程f（2x²+x）=a的根的個數只可能為4、5、6個，不可能為3個．
故選A．
點評：正確得出函數的單調性并畫出函數圖象、利用換元法及分類討論的方法是解題的關鍵．