是否存在函數(shù)f(x)滿足方程af(x)+f()=ax,x∈R且x≠0,a為常數(shù)，且a≠±1.若存在,求出f(x)的解析式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：∵af(x)+f()=ax,              ①

將x換成，則換成x,得

af()+f(x)=,                     ②

由①×a-②得(a2-1)f(x)=a2x-.

∵a≠±1,

∴f(x)=

即f(x)=x(x∈R且x≠0).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•杭州一模）設(shè)函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx，（其中a＞0）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）當(dāng)a=4時(shí)，給出直線l1：5x+2y=m=0和l2：3x-y+n=0，其中m，n為常數(shù)，判斷直線l1或l2中，是否存在函數(shù)f（x）的圖象的切線，若存在，求出相應(yīng)的m或n的值，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

是否存在函數(shù)f（x），使下列三個(gè)條件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N；③f（2）=4．同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇五校高三下學(xué)期期初教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?i>M，具有性質(zhì)P：對(duì)任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1).

（1）若M為實(shí)數(shù)集R，是否存在函數(shù)f (x)＝ax (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；

（2）若M為自然數(shù)集N，并滿足對(duì)任意x∈M，都有f (x)∈N. 記d(x)＝f (x＋1)－f (x).

(ⅰ) 求證：對(duì)任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；

(ⅱ) 求證：存在整數(shù)0≤c≤d(1)及無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n，滿足d(n)＝c.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

是否存在函數(shù)f(x)滿足f(0)=1，f()=1，且對(duì)x、y∈R，恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·cosy?若存在，求出f(x)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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