Question

某學科的試卷中共有12道單項選擇題．（每個選擇題有4個選項，其中僅有一個選項是正確的，答對得5分，不答或答錯得0分＞．某考生每道題都給出了答案，已確定有8道題答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．對于這12道選擇題，
求：（I）該考生得分為60分的概率；
（II）該考生所得分數ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考生要得60分，其余四道題必須全做對，根據條件中所說的關于四道題目的判斷情況，得到每個題作對的概率，根據相互獨立事件同時發(fā)生的概率，得到結果．
（II）由題意知該考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分為40表示只做對了8道題，其余4題都做錯，得45分表示三道題目中有一道題目做對，以此類推，得到概率，分布列和期望．

解答：解：（I）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，
考生要得60分，其余四道題必須全做對，
∴得60分的概率為 P=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

．
（II）由題意知該考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，
得分為40表示只做對了8道題，其余4題都做錯，
故求概率為 P(ξ=40)=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

；
同樣可求得得分為45分的概率為
P(ξ=45)=

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；
得分是50分的概率為P（ξ=50）=

17

48

；
得分是55分的概率為P（ξ=55）=

7

48

；
得分是60分的概率為P（ξ=60）=

1

48

．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=40×

6

48

+45×

17

48

+50×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

．
該考生所得分數的數學期望為

575

12

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等可能事件的概率，考查用概率知識解決實際問題，是一個新課標高考卷中要出的解答題目．