Question

12．已知圓C的方程為x²+y²-mx-2my=0（m≠0），以下關(guān)于這個圓的敘述中，所有正確命題的序號是②④．
①直線y=x與y軸的夾角的平分線必過圓心；
②圓C的圓心不可能在第二象限或第四象限；
③y軸被圓C所截得的弦長為2m；
④圓C必定經(jīng)過坐標原點．

Answer 1

分析 將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程，可得圓心C（$\frac{m}{2}，m$），半徑r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|m|，由圓心坐標可知，圓心在直線y=2x上，不在直線y=x與y軸的夾角的平分線上，故①錯誤；分類討論m的正負，可知圓心只能在第一或第三象限，故②錯誤；先求出圓心到y(tǒng)軸的距離d=$\frac{|m|}{2}$，而弦長L=2$\sqrt{{r}^{2}-d7nbzlp^{2}}$=2|m|，故③錯誤；因為（0，0）滿足圓的方程，所以圓C必定經(jīng)過坐標原點．故④正確．

解答 解：圓C：x²+y²-mx-2my=0，即$（x-\frac{m}{2}）^{2}+（y-m）^{2}=\frac{5{m}^{2}}{4}$
故圓心C（$\frac{m}{2}，m$），半徑r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|m|，
對于①：圓心C（$\frac{m}{2}，m$）在直線y=2x上，不在直線y=x與y軸的夾角的平分線上．故①錯誤；
對于②：m＞0時，圓心C在第一象限；m＜0時，圓心C在第三象限．故②正確；
對于③：圓心C到y(tǒng)軸的距離d=$\frac{|m|}{2}$，所以y軸被圓C所截得的弦長L=$2\sqrt{{r}^{2}-x9fvt9p^{2}}=2|m|$．故③錯誤；
對于④：因為（0，0）滿足圓的方程，所以圓C必定經(jīng)過坐標原點．故④正確．
故答案為：②④

點評 本題通過命題真假的判斷考查了圓的一般方程和標準方程的互化，直線被圓所截得的弦長等知識點．