Question

拋物線y²=ax（a＞0）與直線x=1圍成的封閉圖形的面積為

4

3

，則二項式(x+

a

x

-2)20展開式中含x^-17項的系數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：利用定積分，列出關(guān)于面積的式子，求出a，則二項式為(x+

1

x

-2)20=( 

x

-

1

x

)   40，再利用二項式定理求系數(shù)的方法求解．

解答：解：已知拋物線y²=ax（a＞0）與直線x=1圍成的封閉圖形的面積為

4

3

，
利用定積分，面積S=∫₀¹[

ax

-（-

ax

）]dx=∫₀¹2

ax

dx=

4

3

a

=

4

3

，得a=1，
這時二項式為(x+

1

x

-2)20=(

x

-

1

x

) 40，
利用二項式定理求系數(shù)的方法，T_r+1=C₄₀^r•x

40-r

2

•（-1）^r=（-1）^r•C₄₀^r•x^20-r，
依題意令20-r=-17，得r=37，即二項式展開式中含x^-17項的系數(shù)為（-1）³⁷•C₄₀³⁷=-9880．
故答案為-9880．

點評：本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用及利用二項式定理求二項式系數(shù)的試題．