Question

已知b＞-1，c＞0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（Ⅰ）求b與c的關(guān)系式（用c表示b）；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）注意把握題目中的信息，f（x）和g（x）在同一點處具有相同的切線斜率．即f′（x₀）=g′（x₀）
（2）由構(gòu)造的新函數(shù)F（x）在R上有極值點，得到二次函數(shù)F′（x）有兩個零點，再將上題的結(jié)論代入可解．

解答：解：（Ⅰ）依題意，令f'（x）=g'（x），得2x+b=1，
故x=

1-b

2

．由于f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，得（b+1）²=4c．
∵b＞-1，c＞0，∴b=-1+2

c

．
（Ⅱ）F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc．
F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
令F'（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0．
則△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c）．
若△=0，則F'（x）=0有一個實根x₀，且F'（x）的變化如下：

于是x=x₀不是函數(shù)F（x）的極值點．若△＞0，
則F′（x）=0有兩個不相等的實根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的變化如下：

由此，x=x₁是函數(shù)F（x）的極大值點，x=x₂是函數(shù)F（x）的極小值點．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)△=0時，函數(shù)F（x）在（-∞，+∞）上有極值點．
由△=4(b2-3c)＞0得b＜-

3c

或b＞

3c

．
∵b=-1+2

c

，∴-1+2

c

＜

3c

或-1+2

c

＞

3c

．
解之得0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

．
故所求c的取值范圍是（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)、切線、極值等知識及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．其中三次多項式函數(shù)也是高考中對導(dǎo)數(shù)考查的常見載體．