Question

已知向量，當(dāng)x＞0時(shí)，定義函數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）；
（2）數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則：
①當(dāng)a=1時(shí)，證明：；
②對任意θ∈[0，2π]，當(dāng)2asinθ-2a+S_n≠0時(shí)，
證明：或．

Answer 1

解：由題意得（x＞0）
令x=tanα，則
由于，所以，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，1）
（1）由y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得，所以原函數(shù)的反函數(shù)（0＜x＜1）
（2）因?yàn)閍₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以
①【法一】三角代換 令a_n=tanα_n，因?yàn)閍_n＞0，且a₁=1所以
所以
由于，所以
故數(shù)列{α_n}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以
于是，此處用到不等式x＜tanx
【法二】不等式放縮 因?yàn)閍_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以，又由原函數(shù)的值域知a_n+1∈（0，1）
所以，則
進(jìn)而，所以于是
②【法一】，所以=
由S_n＜2a，則易得，又S_n＞0
則要證或
等價(jià)于證明
化簡等價(jià)于，此式在0＜S_n＜2a的條件下成立；
【法二】因?yàn)閍_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以，從而從而S_n＜2a．
則易得，又S_n＞0
則要證或
等價(jià)于證明
化簡等價(jià)于，此式在0＜S_n＜2a的條件下成立；
分析：（1）由題意得，令x=tanα，則，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，1）．由此能求出原函數(shù)的反函數(shù)．
（2）因?yàn)閍₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以．
①【法一】三角代換：令a_n=tanα_n，因?yàn)閍_n＞0，且a₁=1所以，所以，由此能夠證明．
【法二】不等式放縮：因?yàn)閍_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），故，又由原函數(shù)的值域知a_n+1∈（0，1），所以，則，由此能夠證明．
②【法一】，所以=．由S_n＜2a，能夠證明證明或．
【法二】因?yàn)閍_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以，從而．由S_n＜2a，能夠證明證明或．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，合理地運(yùn)用三角函數(shù)知識，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．