Question

（2011•普寧市模擬）已知：

OA

=(1，sinx-1)，

OB

=(sinx+sinxcosx，sinx)，f(x)=

OA

•

OB

．（x∈R）
求：（1）函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先把

OA

，

OB

的坐標(biāo)代入 f(x)=

OA

•

OB

，化簡(jiǎn)，即可得到求函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）的形式，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．
（2）由（1）得出f（x）的表達(dá)式，根據(jù)將2x-

π

4

看做一個(gè)整體，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z解出x的范圍即可得到答案．

解答：解：（1）f(x)=

OA

•

OB

=sinx+sinxcosx+sin2x-sinx…（2分）
=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

…（4分）∴x=kπ+

3π

8

(k∈Z)時(shí)，
f（x）取得最大值

1+ 2

2

，…（6分）
最小正周期為π．…（8分）
（2）當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（10分）
即kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z時(shí)函數(shù)為增函數(shù)   …（11分）
∴原函數(shù)的遞增區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的問(wèn)題．一般先將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題．