Question

已知橢圓內(nèi)有一點A（1，1），F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上一點．
（1）求|PA|+|PF₁|的最大值、最小值及對應(yīng)的點P坐標(biāo)；
（2）求的最小值及對應(yīng)的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義表示出|PA|+|PF₁|，通過基本不等式求出的最小值，利用三點共線求出最大值，求出對應(yīng)的點P坐標(biāo)；
（2）利用他的第二定義表示，利用幾何意義求出表達(dá)式的最小值及對應(yīng)的點P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）如圖1，2a=6，F(xiàn)₂（2，0），|AF₂|=，設(shè)P是橢圓上任一點，由|PF₁|+|PF₂|=2a=6，|PA|≥|PF₂|-|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≥|PF₁|+|PF₂|-|AF₂|=，
等號僅當(dāng)|PA|=|PF₂|-|AF₂|時成立，此時P、A、F₂共線．
由|PA|≤|PF₂|+|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≤|PF₁|+|PF₂|+|AF₂|=，
等號僅當(dāng)|PA|=|PF₂|+|AF₂|時成立，此時P、A、F₂共線．
建立A、F₂的直線方程x+y-2=0，
解方程組得兩交點、．
綜上所述，P點與P₁重合時，|PA|+|PF₁|取最小值，P點與P₂重合時，|PA|+|PF₂|取最大值．
（2）如圖2，設(shè)P是橢圓上任一點，作PQ垂直橢圓右準(zhǔn)線，Q為垂足，由a=3，c=2，
∴．由橢圓第二定義知，∴，
∴，
要使其和最小需有A、P、Q共線，即求A到右準(zhǔn)線距離．右準(zhǔn)線方程為．
∴A到右準(zhǔn)線距離為．此時P點縱坐標(biāo)與A點縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條件的點P坐標(biāo)．
點評：本題考查橢圓的定義以及第二定義的應(yīng)用，表達(dá)式的幾何意義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．