Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上單調(diào)增，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)在定義域上不單調(diào)，試判定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明過(guò)程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）函數(shù)必有三個(gè)不同零點(diǎn)，證明詳見解析．

【解析】

（1）求導(dǎo)后可得即為切線斜率，再求出，利用點(diǎn)斜式即可得解；

（2）轉(zhuǎn)化條件得在時(shí)恒成立，令，對(duì)求導(dǎo)后求出，令即可得解；

（3）由題意若函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，設(shè)，求導(dǎo)后，即可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合即可得解.

（1）當(dāng)時(shí)，，

則，，

則在處的切線斜率為，

所以函數(shù)在處的切線方程為即；

（2）因?yàn)?/span>．

所以的定義域?yàn)?/span>，，

又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為單遞增函數(shù)，

所以在時(shí)恒成立，

即在時(shí)恒成立，

設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，

所以在時(shí)恒成立，

所以；

（3）因?yàn)?/span>，

所以，則不可能對(duì)恒成立，

即在定義域上不可能始終都為減函數(shù)，

由（2）知函數(shù)為增函數(shù)，

所以若函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，所以是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，

令即，

設(shè)，則與有相同的零點(diǎn)，

令，得，

因?yàn)?/span>，所以，

所以有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解，，

因?yàn)?/span>，，所以不妨設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，在為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在為增函數(shù)；

則，，

又因?yàn)?/span>時(shí)，，，

所以，，

又因?yàn)?/span>在圖象不間斷，所以在上有唯一零點(diǎn)；

又因?yàn)?/span>在圖象不間斷，所以在上有唯一零點(diǎn)；

又因?yàn)?/span>是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，

綜上，函數(shù)必有三個(gè)不同零點(diǎn)．