Question

已知函數(shù)f(x)＝x²＋ax－lnx，a∈R；

(1)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)令g(x)＝f(x)－x²，是否存在實數(shù)a，當(dāng)x∈(0，e](e是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 存在a＝e²使得當(dāng)x∈(0，e]時，g(x)有最小值3.

【解析】

試題分析：(1)在[1,2]上恒成立   （1分）

令h(x)＝2x²＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立       (2分)

得，.             （5分）

(2)假設(shè)存在實數(shù)a，使g(x)＝f(x)－x²，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝         （6分）

①當(dāng)a≤0時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減

∴g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝ (舍去)                  (8分)

②當(dāng)0<<e即a>時，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，e]上單調(diào)遞增     

∴g(x)_min＝＝1＋lna＝3，∴a＝e²滿足條件              （11分）

③當(dāng)≥e即0<a≤時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減

g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3

∴a＝> (舍去)                                    （13分）

綜上所述，存在a＝e²使得當(dāng)x∈(0，e]時，g(x)有最小值3.         （14分）

考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性求最值

點評：第一小題已知函數(shù)在某一區(qū)間上是減函數(shù)得到結(jié)論，學(xué)生解題時容易忽略等號寫成，第二問要分情況討論極值點與區(qū)間(0，e]的關(guān)系從而確定在區(qū)間(0，e]上的單調(diào)性求出函數(shù)最值