Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項的和，且對于任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
（1）求a₁，a₂的值和數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列b_n=

1

an•an+1

的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用遞推關系式求數列的項，進一步求出數列的通項公式．
（2）根據求出的通項公式，進一步利用裂項相消法求數列的和．

解答： 解：（1）已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項的和，且對于任意的n∈N^*，
都有4S_n=（a_n+1）²①．
所以：當n=1時，4S1=(a1+1)2
解得：a₁=1
當n=2時，4S2=(a2+1)2
解得：a₂=3
當n≥2時，4Sn-1=(an-1+1)2②
所以：①-②得：4an2=(an+1)2-(an-1+1)2
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0=0
所以：a_n-a_n-1=2                
{a_n}是以a₁=1為首項，2為公差的等差數列
a_n=2n-1                                             
（2）根據（1）的結論b=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點評：本題考查的知識要點：數列通項公式的求法，利用裂項相消法求數列的和．屬于基礎題型．