Question

如圖，圓錐內(nèi)接于半徑為R的球O，當內(nèi)接圓錐的體積最大時，圓錐的高A等于（　�。�

• A、

  3

  2

  R
• B、

  2

  2

  R
• C、

  4

  3

  R
• D、

  2

  R

Answer 1

分析：畫出過球心的一個軸截面，有圖找出圓錐的高和底面半徑之間的關(guān)系式，再代入圓錐的體積公式，利用求它的導數(shù)和導數(shù)為零的性質(zhì)，求出圓錐體積最大時圓錐的高．

解答：解：設(shè)圓錐的高是h，過球心的一個軸截面如圖：
則圓錐的底面半徑r=

R2-(h-R)2

，
∴圓錐的體積V=

1

3

πr²h=

1

3

π（-h³+2h²R），
∵V'=

1

3

π（-3h²+4hR），由V'=0解得，h=

4

3

R，
∴由導數(shù)的性質(zhì)知，當h=

4

3

R時，圓錐的體積最大．
故選C．

點評：本題是有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的綜合題，需要根據(jù)軸截面和體積公式列出函數(shù)關(guān)系，再由導數(shù)求出函數(shù)最值問題，考查了分析和解決問題的能力．