Question

如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，過左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn)，|AA′|=4．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，將左焦點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得y=，則，又②，a²=b²+c²③，聯(lián)立①②③可求得a，b；
（Ⅱ）設(shè)Q（t，0）（t＞0），圓的半徑為r，直線PP′方程為：x=m（m＞t），則圓Q的方程為：（x-t）²+y²=r²，聯(lián)立圓與橢圓方程消掉y得x的二次方程，則△=0①，易求P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，則，變?yōu)殛P(guān)于t的函數(shù)，利用基本不等式可求其最大值及此時(shí)t值，由對(duì)稱性可得圓心Q在y軸左側(cè)的情況；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，
左焦點(diǎn)F₁（-c，0），代入橢圓方程得，y=，
所以①，②，a²=b²+c²③，聯(lián)立①②③解得a=4，，
所以橢圓方程為：；
（Ⅱ）設(shè)Q（t，0）（t＞0），圓的半徑為r，直線PP′方程為：x=m（m＞t），
則圓Q的方程為：（x-t）²+y²=r²，
由得x²-4tx+2t²+16-2r²=0，
由△=0，即16t²-4（2t²+16-2r²）=0，得t²+r²=8，①
把x=m代入，得，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，），代入（x-t）²+y²=r²，得，②
由①②消掉r²得4t²-4mt+m²=0，即m=2t，
=×（m-t）=≤×=2，
當(dāng)且僅當(dāng)4-t²=t²即t=時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)t+r=+＜4，橢圓上除P、P′外的點(diǎn)在圓Q外，
所以△PP'Q的面積S的最大值為，圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
當(dāng)圓心Q、直線PP′在y軸左側(cè)時(shí)，由對(duì)稱性可得圓Q的方程為，△PP'Q的面積S的最大值仍為為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查方程組的解法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度較大．