Question

MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2

3

．
（1）求點A到平面MBC的距離；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,點、線、面間的距離計算,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：取CD中點O，連OB，OM，以O為原點，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求出O，C，M，B，A的坐標
（1）求出平面MBC的法向量，利用空間距離公式求解即可．
（2）求出設平面ACM的法向量，平面BCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答： 解：取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD．

以O為原點，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖．
OB=OM=

3

，則各點坐標分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，

3

），B（0，-

3

，0），A（0，-

3

，2

3

），
（1）設

n

=(x，y，z)是平面MBC的法向量，則

BC

=(1，

3

，0)，

BM

=(0，

3

，

3

)，由

n

⊥

BC

得x+

3

y=0；由

n

⊥

BM

得

3

y+

3

z=0；取

n

=(

3

，-1，1)，

BA

=(0，0，2

3

)，則距離d=

| BA • n |

| n |

=

2 15

5

（2）

CM

=(-1，0，

3

)，

CA

=(-1，-

3

，2

3

)．
z設平面ACM的法向量為

n1

=（x，y，z），
由

n1 ⊥ CM n1 ⊥ CA

得

-x+ 3 z=0 -x- 3 y+2 3 z=0

．解得x=

3

z，y=z，取

n1

=(

3

，1，1)．
又平面BCD的法向量為

n

=(0，0，1)，則cos＜

n1

，

n

＞=

n1 • n

| n1 |•| n |

=

1

5

設所求二面角為θ，則sinθ=

1-( 1 5 )2

=

2 5

5

．

點評：本題考查空間向量的應用，點到平面的距離的解法，二面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．