Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f（x）的極大值等于3e^-2？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)镽.，
即 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或．
當(dāng)k=-2時(shí)，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）．…（3分）
當(dāng)-2＜k＜0時(shí)，f（x），f'（x）隨x的變化情況如下：

x				-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和（-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是．…（5分）
當(dāng)k＜-2時(shí)，f（x），f'（x）隨x的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1）和，單調(diào)遞減區(qū)間是．…（7分）
（Ⅱ）當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）的極大值等于3e^-2．理由如下：
當(dāng)k=-2時(shí)，f（x）無(wú)極大值．
當(dāng)-2＜k＜0時(shí)，f（x）的極大值為，…（8分）
令，即，解得 k=-1或（舍）．…（9分）
當(dāng)k＜-2時(shí)，f（x）的極大值為．…（10分）
因?yàn)?e^k＜e^-2，，所以 ．
因?yàn)?，所以 f（x）的極大值不可能等于3e^-2．
綜上所述，當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）的極大值等于3e^-2．…（12分）
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，并分解 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0），對(duì)f'（x）=0的兩個(gè)根的大小進(jìn)行比較，分類(lèi)討論：k=-2時(shí)，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0；當(dāng)-2＜k＜0時(shí)，；當(dāng)k＜-2時(shí)，，從而可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）的極大值等于3e^-2．按照（Ⅰ）的分類(lèi)討論方法，當(dāng)k=-2時(shí)，f（x）無(wú)極大值；當(dāng)-2＜k＜0時(shí)，f（x）的極大值為，可得 k=-1；當(dāng)k＜-2時(shí)，f（x）的極大值不可能等于3e^-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，合理分類(lèi)是關(guān)鍵．