Question

（1）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a），若f′（1）=1．求a的值并求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y=g（x）；
（2）已知函數(shù)f（x）=

ax2

2x+b

的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=2．求a，b的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由f′（1）=1，得a的值，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程．
（2）利用切線方程，求a，b的值．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=x²（x-a），所以f'（x）=3x²-ax，若f'（1）=1，則3-a=1，解得a=2．
所以f（1）=1-a=1-2=-1，所以對(duì)應(yīng)的切線方程為y-（-1）=x-1，所以y=x-2，即y=g（x）=x-2．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

ax2

2x+b

的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=

2ax2+2abx

(2x+b)2

=

2ax(x+b)

(2x+b)2

，
因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=2，所以f（2）=2且f'（2）=0，
即：

f(2)= 4a 4+b =2 f′(2)= 4a(2+b) (4+b)2 =0

，解得a=1，b=-2．
所以f′(x)=

2x(x-2)

(2x-2)2

=

x(x-2)

2(x-1)2

，f（x）=

x2

2x-2

，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}．
由f'（x）＞0得，x＞2或x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
由f'（x）＜0得，0＜x＜2且x≠1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
故函數(shù)的遞增區(qū)間為（2，+∞）和（-∞，0）．
函數(shù)的遞減區(qū)間為（0，1）和（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．