Question

對任意函數(shù)f(x),x∈D,如圖所示，構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：

①輸入數(shù)據(jù)x₀∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x₁=f(x₀);

②若x₁D,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁∈D,則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f(x₁)，并依次規(guī)律繼續(xù)下去.

    現(xiàn)定義f(x)=.

（Ⅰ）若輸入x₀=,則數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}，請寫出數(shù)列{x_n}的所有項；

（Ⅱ）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值；

（Ⅲ）若輸入x₀時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列{x_n}滿足：對任意正整數(shù)n，均有x_n＜x_n+1,求x₀的取值范圍.

Answer 1

解析：（Ⅰ）因為f(x)的定義域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞),

    所以數(shù)列{x_n}只有三項x₁=,x₂=,x₃=-1.

（Ⅱ）因為f(x)==x即x²-3x+2=0所以x=1或x=2,

    即x₀=1或x₀=2時，x_n+1==x_n.

    故當(dāng)x₀=1時，x_n=1；

    當(dāng)x₀=2時，x_n=2（n∈N）.

（Ⅲ）解不等式x＜得：x＜-1或1＜x＜2.

    要使x₁＜x₂,則x₁＜-1或1＜x₁＜2.

    對于函數(shù)f(x)==4-,

    若x₁＜-1,則x₂=f(x₁)＞4,x₃=f(x₂)＜x₂

    不符合對任意正整數(shù)n均有x_n＜x_n+1;

    若1＜x₁＜2,則x₂=f(x₁)＞x₁,且1＜x₂＜2,

    依次類推可得數(shù)列{x_n}的所有項均滿足：x_n+1＞x_n(n∈N).

    綜上所述，x₁∈(1,2).

    由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2).