Question

設函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：先求導函數(shù)f'（x），函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)轉化成f'（x）≤0在區(qū)間（0，4）上恒成立，討論k的符號，從而求出所求．

解答： 解：f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≤0在區(qū)間（0，4）上恒成立
當k=0時，成立
k＞0時，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，即0＜k≤

1

3

，
k＜0時，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0
故k的取值范圍是k≤

1

3

，
故答案為：（-∞，

1

3

]．

點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎題．