Question

已知拋物線C₁：x²=2py（p＞0）上縱坐標(biāo)為p的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，-2）的直線交拋物線C₁于A，B兩點(diǎn)，設(shè)拋物線C₁在點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)M，
（�。┣簏c(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（ⅱ）若點(diǎn)Q為（ⅰ）中曲線C₂上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線AQ，BQ，PQ的斜率k_AQ，k_BQ，k_PQ均存在時(shí)，試判斷是否為常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，可求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）（�。┲本�方程與拋物線方程聯(lián)立，求得k的范圍，求出拋物線在A，B處的切線方程，聯(lián)立可求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（ⅱ）表示出，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，則p=2，…（3分）
所以拋物線C₁的方程為x²=4y．                   …（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線方程為y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得x²-4kx+8=0．
由△＞0，得或，x₁+x₂=4k，x₁x₂=8．…（7分）
拋物線C₁在點(diǎn)A，B處的切線方程分別為，，
即，，
由得
所以點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為或）．…（10分）
（ⅱ）設(shè)Q（m，2）（），
則，．…（11分）
所以=…（12分）
==
====2，
即為常數(shù)2．                        …（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線方程，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．