Question

表面積為16π的球面上有三點(diǎn)A、B、C，∠ACB=60°，AB=

3

，則球心到截面ABC的距離及B、C兩點(diǎn)間球面距離最大值分別為（　�。�

• A、3，

  2π

  3

• B、

  3

  ，

  π

  3

• C、

  3

  ，

  2π

  3

• D、3，

  π

  3

Answer 1

分析：設(shè)出AD，然后通過球的直徑求出AD，解出∠AOB，可求A，B兩點(diǎn)的球面距離．

解答：解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖．
表面積為16π的球的半徑R=2，
設(shè)△ABC所在小圓的半徑為r，
在△ABC中，由正弦定理得：
2r=

AB

sin∠ACB

=

3

sin60°

=2，r=1
∴在直角三角形AOQ中，
OQ=

OA2-AQ2

=

4-1

=

3

，
則球心到截面ABC的距離為：

3

；
當(dāng)點(diǎn)C在BQ的延長線上時(shí)，B、C兩點(diǎn)間球面距離最大，
在直角三角形BOQ中，BO=2，BQ=1，
∴∠BOQ=30°，
∴B、C兩點(diǎn)間球面距離最大值為：∠BOC×R=

π

3

×2=

2π

3

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生的空間想象能力，以及學(xué)生對球面上的點(diǎn)的距離求解，是中檔題．球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度．（大圓就是經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓） 我們把這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離．