Question

【題目】已知x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一個極值點．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為 所以
因此a=16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）
當x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0
當x∈（1，3）時，f′（x）＜0
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，3）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)增加，
在（1，3）內(nèi)單調(diào)減少，在（3，+∞）上單調(diào)增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0
所以f（x）的極大值為f（1）=16ln2﹣9，極小值為f（3）=32ln2﹣21
因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）
所以在f（x）的三個單調(diào)區(qū)間（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直線y=b有y=f（x）的圖象各有一個交點，當且僅當f（3）＜b＜f（1）
因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）
【解析】（Ⅰ）先求導(dǎo) ，再由x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一個極值點即 求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）確定f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)增加，在（1，3）內(nèi)單調(diào)減少，在（3，+∞）上單調(diào)增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0，可得f（x）的極大值為f（1），極小值為f（3）一，再由直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個交點則須有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．