Question

已知函數(shù)，f（x）=x³+bx²+cx+d在點（0，f（0））處的切線方程為2x-y-1=0．
（1）求實數(shù)c，d的值；
（2）若過點P（-1，-3）可作出曲線y=f（x）的三條不同的切線，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若對任意x∈[1，2]，均存在t∈（1，2]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，試求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由點（0，f（0））在切線上得f（0）=-1，且f′（0）=2，聯(lián)立可解得c，d；
（2）設(shè)切點為Q（x₀，y₀），易求切線方程，把點P（-1，-3），代入并整理得x0[2x02+(b+3)x0+2b]=0，由題意，方程2x02+(b+3)x0+2b=0有兩個不同的非零實根，據(jù)此得到不等式組，解出可得b的范圍；
（3）不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x³+bx²+3，由題意可知，et-lnt的最小值應(yīng)小于或等于x³+bx²+3對任意x∈[1，2]恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（t）=et-lnt，用導(dǎo)數(shù)可求得h（t）_min，分離參數(shù)后再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可；

解答：（1）f'（x）=3x²+2bx+c，由題意得，切點為（0，-1），
則

f′(0)=2 f(0)=-1

，解得

c=2 d=-1

． 
（2）設(shè)切點為Q（x₀，y₀），則切線斜率為k=3x02+2bx0+2，y0=x03+bx02+2x0-1，
所以切線方程為y=(3x02+2bx0+2)(x-x0)+y0，即y=(3x02+2bx0+2)x-2x03-bx02-1，
又切線過點P（-1，-3），代入并整理得x0[2x02+(b+3)x0+2b]=0，
由題意，方程2x02+(b+3)x0+2b=0有兩個不同的非零實根，
所以

(b+3)2-16b＞0 2b≠0

，解得

b＜1或b＞9 b≠0

，
故實數(shù)b的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1）∪（9，+∞）．   
（3）由（1）知，f（x）=x³+bx²+2x-1，則不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x³+bx²+3，
由題意可知，et-lnt的最小值應(yīng)小于或等于x³+bx²+3對任意x∈[1，2]恒成立，
令h（t）=et-lnt（1＜t≤2），則h′(t)=e-

1

t

=

et-1

t

＞0，
∴h（t）在（1，2]上遞增，因此，h（t）＞h（1）=e．                    
∴e≤x³+bx²+3對任意x∈[1，2]恒成立，即b≥

-x3+e-3

x2

對任意x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=

-x3+e-3

x2

（1≤x≤2），則g′（x）=

-x3+6-2e

x3

＜0，
∴g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴g（x）的最大值為g（1）=

-13+e-3

12

=e-4，
∴b≥e-4．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．