Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y=0垂直，若數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₃的值為（　�。�

• A．

  2010

  2011

• B．

  2011

  2012

• C．

  2012

  2013

• D．

  2013

  2014

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求b，然后通過數(shù)列{

1

f(n)

}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和即可求出S₂₀₁₃的值．

解答：解：∵f（x）=x²-ax，
∴f′（x）=2x-a，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，
∴y=f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2-a，
∵函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y=0垂直，
∴（2-a）×(-

1

3

)=-1，
∴a=-1，
∴f（x）=x²+x，
∴f（n）=n²+n=n（n+1），
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₃=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

）
=1-

1

2014

=

2013

2014

，
∴S₂₀₁₃=

2013

2014

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，數(shù)列的求和．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．常見的數(shù)列求和的方法有：分組求和法，裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減法，倒序相加法．要根據(jù)具體的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)進(jìn)行判斷該選用什么方法進(jìn)行求和．本題利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的綜合能力．屬于中檔題．