Question

17．定義茬（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足，①對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）；②x∈（-1，0）時(shí)f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）證明f（x）滿足f（-x）=-f（x）；
（3）若 f（$\frac{1}{2}$）=-1，f（x）≤t²-2at+1對(duì)所有x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法研究函數(shù)f（x）的性質(zhì)，令x=y=0得，f（0）=0，
（2）再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以該函數(shù)是奇函數(shù)；
（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性，將恒成立問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建立關(guān)于以a為主變量的函數(shù)，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由已知令x=y=0代入f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），得，f（0）=0；
（2）再令y=-x，得f（-x）=-f（x），則該函數(shù)是奇函數(shù)，
即f（x）滿足f（-x）=-f（x）；
（3）∵該函數(shù)是奇函數(shù)，
∴由f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），
得$f（x）-f（y）=f（\frac{x-y}{1-xy}）$，
設(shè)-1＜x＜y＜1，則-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，則$\frac{x-y}{1-xy}＜0$，
又$\frac{x-y}{1-xy}+1=\frac{x-y+1-xy}{1-xy}=\frac{（1-y）（1+x）}{1-xy}＞0$，
所以$-1＜\frac{x-y}{1-xy}＜0$，
若$f（\frac{x-y}{1-xy}）＞0$，則$f（x）-f（y）=f（\frac{x-y}{1-xy}）$＞0，有f（x）＞f（y），此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
則當(dāng)x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（$-\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=1，
若f（x）≤t²-2at+1對(duì)所有x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，a∈[-1，1]恒成立，
則等價(jià)為1≤t²-2at+1對(duì)a∈[-1，1]恒成立，
即t²-2at≥0，
設(shè)g（a）=t²-2at=-2ta+t²，
∵對(duì)a∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t≥0}\\{{t}^{2}+2t≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{t≥2或t≤0}\\{t≥0或t≤-2}\end{array}\right.$，
解得t≥2或t=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了特值思想，解答此題的關(guān)鍵是把x，y取特值后靈活變形，考查了學(xué)生的觀察能力和靈活解決問(wèn)題的能力，此題是中檔題．