【答案】
分析:(1)由于函數(shù)的解析式中含有參數(shù)a,故我們要對a進行分類討論,注意到a出現(xiàn)在二次項系數(shù)的位置,故可以分a>0,a=0,a<0三種情況,最后將三種情況得到的結(jié)論綜合即可得到答案.
(2)方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125058369403591/SYS201310251250583694035020_DA/0.png)
整理為ax
2+(1-2a)x-lnx=0構(gòu)造函數(shù)H(x)=ax
2+(1-2a)x-lnx(x>0),則原方程在區(qū)間
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內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根即為函數(shù)H(x)在區(qū)間(
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)內(nèi)有且只有兩個零點,根據(jù)函數(shù)零點存在定理,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造不等式組,解不等式組即可得到結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=0時,f(x)=2x在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),符合題意.
當(dāng)a>0時,y=f(x)的對稱軸方程為
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,
由于y=f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
所以
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,解得a≤-2或a>0,所以a>0.
當(dāng)a<0時,不符合題意.
綜上,a的取值范圍是a≥0.
(Ⅱ)把方程
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整理為
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,
即為方程ax
2+(1-2a)x-lnx=0.
設(shè)H(x)=ax
2+(1-2a)x-lnx(x>0),
原方程在區(qū)間(
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)內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根,
即為函數(shù)H(x)在區(qū)間(
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)內(nèi)有且只有兩個零點
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=
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令H′(x)=0,因為a>0,解得x=1或
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(舍)
當(dāng)x∈(0,1)時,H′(x)<0,H(x)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(1,+∞)時,H′(x)>0,H(x)是增函數(shù).
H(x)在(
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)內(nèi)有且只有兩個不相等的零點,
只需
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即
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∴
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解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125058369403591/SYS201310251250583694035020_DA/16.png)
,
所以a的取值范圍是(
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).
點評:遇到類二次方程/函數(shù)/不等式(即解析式的二次項系數(shù)含有參數(shù))時,一般要進行分類討論,分類的情況一般有:①先討論二次項系數(shù)a是否為0,以確定次數(shù)②再討論二次項系數(shù)a是否大于0,以確定對應(yīng)函數(shù)的開口方向,③再討論△與0的關(guān)系,以確定對應(yīng)方程根的個數(shù).