Question

如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠COP=α，求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積．

Answer 1

解：如圖，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，=tan60°=，所以O(shè)A=DA=BC=sinα．
所以AB=OB-OA=cosαsinα．
設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=（cosαsinα）sinα=sinαcosαsin²α
=sin2α+cos2α-=（sin2α+cos2α）-
=sin（2α+）．
由于0＜α＜，所以當(dāng)2α+=，即α=時(shí)，S_最大=-=．
因此，當(dāng)α=時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為．
分析：如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來(lái)，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，求解問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．