Question

已知斜率為的直線l過點（0，-2）和橢圓C：+=1 （a＞b＞0）的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P，Q，R都在橢圓C上，PQ、PR分別過點M₁（-1，0）、M₂（1，0），設(shè)=λ，=μ，當P點在橢圓C上運動時，試問λ+μ是否為定值，并請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點斜式即可得出直線l的方程，令y=0即可得出橢圓的焦點（c），利用軸對稱的性質(zhì)即可得出原點關(guān)于l的對稱點，利用準線方程x=即可得出a，再利用b²=a²-c²即可；
（2）設(shè)P（x，y），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）當x=x₁=-1時，ii）當x=x₂=-1時，容易得出λ+μ的值為定值；
iii）當x≠x₁且x≠x₂時，利用向量運算及相等可得x₁，y₁與x，y及λ的關(guān)系，同理得到x₂，y₂與x，y及μ的關(guān)系，再代入橢圓的方程即可得出．
解答：解：（1）由題意可得直線，令y=0，解得x=2，∴c=2．
∴橢圓的焦點為（±2，0），
設(shè)原點關(guān)于l的對稱點為（x，y），
則，解得x=3，即，a²=6，∴b²=a²-c²=2．
∴橢圓的方程為．
（2）設(shè)P（x，y），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）當x=x₁=-1時，，，
ii）同理當x=x₂=-1時，
iii）當x≠x₁且x≠x₂時，
由題意得
代入橢圓方程，即，
又，有，
即5λ²-（2x+2）λ+2x+7=0（5λ-2x-7）（λ-1）=0，
同理可得，
∴．
點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、點在橢圓上轉(zhuǎn)化為點的坐標適合題意的方程、向量的運算與相等等是解題的關(guān)鍵．