Question

直線l過點M（1，1），與橢圓

x2

16

+

y2

4

=1交于P，Q兩點，已知線段PQ的中點橫坐標為

1

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：平方差法：易判斷直線存在斜率，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（

1

2

，y₀），把P、Q坐標代入橢圓方程兩式相減，利用斜率公式及中點坐標公式可用y₀表示出直線斜率，再用M點坐標及中點的坐標可表示出斜率，從而得到關于y₀的方程，解出y₀后即可求得斜率，用點斜式即可求得直線方程．

解答：解：易知直線l存在斜率，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（

1

2

，y₀），則x₁+x₂=1，y₁+y₂=2y₀，
把P、Q坐標代入橢圓方程，得

x12

16

+

y12

4

=1①，

x22

16

+

y22

4

=1②，
①-②得，

x12-x22

16

+

y12-y22

4

=0，即

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

1

8y0

，
又

y1-y2

x1-x2

=

y0-1

1 2 -1

，
所以

y0-1

1 2 -1

=-

1

8y0

，解得y0=

1

2

+

5

4

，y0=

1

2

-

5

4

，
則直線斜率k=-

1

8y0

=1±

5

2

，
所以直線l方程為：y-1=（1+

5

2

）（x-1）或y-1=（1-

5

2

）（x-1），即y=（1+

5

2

）（x-1）+1或y=（1-

5

2

）（x-1）+1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，屬中檔題，凡涉及弦中點問題可用平方差法解決．